一元二次方程公式法100道题及其解法

一元二次方程的解法

一元二次方程常考题型及答案_一元二次方程常考题型及答案

一元二次方程常考题型及答案_一元二次方程常考题型及答案

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般

形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是基本的方法。

公式法和配方法是重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为法），在使用公式

法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程

是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方

法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

例5．用适当的方法解下列方程。(选学）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方

公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

（3）化成一般形式后利用公式法解。

（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我

们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可变形为

x2+px=-q (常数项移到方程右边)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

(x+)2= (配方)

当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。

说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母

取值的要求，必要时进行分类讨论。

练习：

（一）用适当的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列关于x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

练习参：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

测试

选择题

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、无实根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不对

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案与解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,

注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。

2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1

时，方程成立，则必有根为x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，

则ax2+bx+c必存在因式x，则有且c=0时，存在公因式x，所以 c=0.

另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！

5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,

则(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。

8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理为：(x-)2=

方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1

则(x-1)2=m+1.

中考解析

考题评析

1．（甘肃省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确

选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元

二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为

C。

另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（辽宁省）方程的根为（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、

B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。

评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。

5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方

根，即可选出答案。

课外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的次项是二

次的整式方程。 一般形式为

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次

方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到简单的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中

之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公

式。

在阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种

不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次

给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的

数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学

家还在方程的研究中应用了内插法。

a(x+b)^2-c=0只要a大于0，c小于0，就是完全平方公式求解了，100道随便代数进去都有解。

求60道一元二次方程应用题带答案^o^谢谢

一、增长率问题

x09例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.

x09解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1－20%)(1+x)2＝193.6,

x09即(1+x)2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1（舍去）.

x09答这两个月的平均增长率是10%.

x09说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2＝n求解,其中m＜n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1－x)2＝n即可求解,其中m＞n.

x09二、商品定价

x09例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出（350－10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?

x09解根据题意,得(a－21)(350－10a)＝400,整理,得a2－56a+775＝0,

x09解这个方程,得a1＝25,a2＝31.

x09因为21×(1+20%)＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去.

x09所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

x09答需要进货100件,每件商品应定价25元.

x09说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.

x09三、储蓄问题

x09例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

x09解设第一次存款时的年利率为x.

x09则根据题意,得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理,得90x2+145x－3＝0.

x09解这个方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1.63舍去.

x09答第一次存款的年利率约是2.04%.

x09说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.

x09四、趣味问题

x09例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?

x09解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.

x09则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8,整理,得x2+0.8x－1.8＝0.

x09解这个方程,得x1＝－1.8（舍去）,x2＝1.

x09所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

x09答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.

x09说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.

x09五、古诗问题

x09例5读诗词解题：（通过列方程式,算出周瑜时的年龄）.

x09大江东去浪淘尽,千古风流数人物；

x09而立之年督东吴,早逝英年两位数；

x09十位恰小个位三,个位平方与寿符；

x09哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

x09解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x－3.

x09则根据题意,得x2＝10(x－3)+x,即x2-11x+30＝0,解这个方程,得x＝5或x＝6.

x09当x＝5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去；

x09当x＝6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.

x09答周瑜的年龄为36岁.

x09说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.

x09六、象棋比赛

x09例6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

x09解设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局,共计n(n－1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n－1)＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44（舍去）.

x09答参加比赛的选手共有45人.

x09说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.

x09七、情景对话

x09例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

x09解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000,所以员工人数一定超过25人.

x09则根据题意,得[1000－20(x－25)]x＝27000.

x09整理,得x2－75x+1350＝0,解这个方程,得x1＝45,x2＝30.

x09当x＝45时,1000－20(x－25)＝600＜700,故舍去x1；

x09当x2＝30时,1000－20(x－25)＝900＞700,符合题意.

x09答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.

x09八、等积变形

x09例8将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

x09（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

x09（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

x09以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件,请说明理由.

x09解都能.（1）设小路宽为x,则18x+16x－x2＝×18×15,即x2－34x+180＝0,

x09解这个方程,得x＝,即x≈6.6.

x09（2）设扇形半径为r,则3.14r2＝×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.

x09说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等.

x09九、动态几何问题

x09例9如图4所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

x09（1）如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?

x09（2）点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间；若不存在,说明理由.

x09解因为∠C＝90°,所以AB＝＝＝10（cm）.

x09（1）设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP＝xcm,PC＝(6－x)cm,CQ＝2xcm.

x09则根据题意,得·(6－x)·2x＝8.整理,得x2－6x+8＝0,解这个方程,得x1＝2,x2＝4.

x09所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

x09（2）设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

x09则根据题意,得(6－x)·2x＝××6×8.整理,得x2－6x+12＝0.

x09由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

x09说明本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程＝速度×时间.

x09十、梯子问题

x09例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.

x09（1）若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?

x09（2）若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?

x09（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?

x09解依题意,梯子的顶端距墙角＝8（m）.

x09（1）若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

x09则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2＝102,整理,得x2+12x－15＝0,

x09解这个方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14（舍去）,

x09所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.

x09（2）当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.

x09则根据勾股定理,列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理,得x2－16x+13＝0.

x09解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14（舍去）.

x09所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.

x09（3）设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.

x09则根据勾股定理,列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102,整理,得2x2－4x＝0,

x09解这个方程,得x1＝0（舍去）,x2＝2.

x09所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.

x09说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

x09十一、航海问题

x09例11如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.

x09（1）小岛D和小岛F相距多少海里?

x09（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?（精确到0.1海里）

x09解（1）F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF＝AB＝100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.

x09（2）设相遇时补给船航行了x海里,那么DE＝x海里,AB+BE＝2x海里,EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

x09在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2,整理,得3x2－1200x+100000＝0.

x09解这个方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+（不合题意,舍去）.

x09所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.

x09说明求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

x09十二、图表信息

x09例12如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n（n为整数,且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

x09请你认真观察思考后回答下列问题：

x09（1）由于正方形纸片边长n的取值不同,完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：

x09纸片的边长nx092x093x094x095x096

使用的纸片张数x09x09x09x09x09

x09（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面积为S2.

x09①当n＝2时,求S1∶S2的值；

x09②是否存在使得S1＝S2的n值?若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.

x09解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.

x09（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

x09①当n＝2时,S1＝－22+25×2－12＝34,S2＝12×12－34＝110.

x09所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.

x09②若S1＝S2,则有－n2+25n－12＝×122,即n2－25n+84＝0,

x09解这个方程,得n1＝4,n2＝21（舍去）.

x09所以当n＝4时,S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

x09说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第（3）小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

x09十三、探索在在问题

x09例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

x09（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

x09（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.

x09解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20－x）cm.

x09则根据题意,得+＝17,解得x1＝16,x2＝4,

x09当x＝16时,20－x＝4,当x＝4时,20－x＝16,

x09答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

x09（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12,整理,得y2－20y+104＝0,移项并配方,得(y－10)2＝－4＜0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

x09说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0,方程有两个实数根,若b2－4ac＜0,方程没有实数根,本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.

x09十四、平分几何图形的周长与面积问题

x09例14如图7,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.

x09（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积；

x09（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长；若不存在,请说明理由；

x09（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长；若不存在,请说明理由.

x09解（1）由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.

x09过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.

x09则可得,FG＝×4,

x09所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.

x09（2）存在.由（1）得－x2+x＝14,解这个方程,得x1＝7,x2＝5（不合题意,舍去）,

x09所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE＝7.

x09（3）不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2,

x09即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝,

x09整理,得3x2－24x+70＝0,此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0,

x09所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

x09说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

x09十五、利用图形探索规律

x09例15在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

x09（1）观察图形,请填写下列表格：

正方形边长x091x093x095x097x09…x09n（奇数）

黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09

正方形边长x092x094x096x098x09…x09n（偶数）

黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09

x09（2）在边长为n（n≥1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2＝5P1?若存在,请写出n的值；若不存在,请说明理由.

x09解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.

x09（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n,所以P2＝n2－2n.根据题意,得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0,解得n1＝12,n2＝0（不合题意,舍去）.所以存在偶数n＝12,使得P2＝5P1.

x09说明本题的第（2）小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.

求一元二次方程练习题（附答案）

1.已知a是关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根,-a是关于x的一元二次方程x2+3x-m=0.试求a的值.

答：把a代入方程x2-3x+m=0得：a2-3a+m=0；

把-a代入方程x2+3x-m=0得：（-a）2+3（-a）-m=0==>a2-3a-m=0

所以m=0，所以a2-3a=0，所以a=3。a=0（不合题意，舍去），所以

a=3

2.如果我们知道方程(k2+2)x2+(5-k)x=1-3kx2 是关于x的一元二次方程.那么你能求得k的值吗?

答 ：方程(k2+2)x2+(5-k)x=1-3kx2 是关于x的一元二次方程。

所以k2+2+3k≠0，

所以k≠-1，k≠-2

3(x2+3x+4)(x2+3x+5)=6.通过仔细观察.巧妙解题(不准展开解题.)

答：通过观察，x2+3x+4比x2+3x+5始终小“1”，所以x2+3x+4=2，x2+3x+5=3，或者x2+3x+4=-3，x2+3x+5=-2（这两个方程无实根）。

所以，x=-1，或x=-2，

4已知m.n是关于x的方程x2-(p-2)x+1=0的两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值

答：m.n是关于x的方程x2-(p-2)x+1=0的两个实数根,

所以有：m2-(p-2)m+1=0和n2-(p-2)n+1=0

所以：m2-mp+2m+1=0和n2-np+2n+1=0

m2+mp+1=2mp-2m和n2+np+1=2np-2n

所以：(m2+mp+1)(n2+np+1)=（2mp-2m）（2np-2n）=4mn（p-1）^2

因为mn=1，所以：(m2+mp+1)(n2+np+1)=4（p-1）^2

一元二次方程实际问题类型

一元二次方程实际问题类型如下：

提到方程应用题，不少学生难免手心发凉，觉得这好像是自己无法逾越的一座高山。其实就一元二次方程来说，常考的也就这么几个类型，并且绝大多数都是直接套公式。

与列一元一次方程解决实际问题基本相同， 列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达整个题数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。为了大家更好理解，我把一元二次方程常考的几个题型分析思路给大家总结下。

类型一:传播问题

解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律。

数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每次传播数量)；第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2

例1设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答。

在分析引例1和引例2中的数量关系时它们有何区别？例2每个支干只分裂一次，例1每名患者每轮都传染。

求,100道一元二次方程题要答案及过程.

1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1

(2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9

(3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10

(4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10

(5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8

(6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4

(7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11

(8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18

(9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18

(10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6

(11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3

(12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9

(13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5

(14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9

(15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12

(16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19

(17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11

(18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19

(19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1

(20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19

(21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20

(22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16

(23)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11

(24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19

(25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5

(26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17

(27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4

(28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14

(29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5

(30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7

(31)x^2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12

(32)x^2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3

(33)x^2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2

(34)x^2-6x-160=0 答案：x1=16 x2=-10

(35)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5

(36)x^2-7x-144=0 答案：x1=-9 x2=16

(37)x^2+20x+51=0 答案：x1=-3 x2=-17

(38)x^2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7

(39)x^2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13

(40)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1

(41)x^2-13x-48=0 答案：x1=16 x2=-3

(42)x^2+10x+24=0 答案：x1=-6 x2=-4

(43)x^2+28x+180=0 答案：x1=-10 x2=-18

(44)x^2-8x-209=0 答案：x1=-11 x2=19

(45)x^2+23x+90=0 答案：x1=-18 x2=-5

(46)x^2+7x+6=0 答案：x1=-6 x2=-1

(47)x^2+16x+28=0 答案：x1=-14 x2=-2

(48)x^2+5x-50=0 答案：x1=-10 x2=5

(49)x^2+13x-14=0 答案：x1=1 x2=-14

(50)x^2-23x+102=0 答案：x1=17 x2=6

(51)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11

(52)x^2-8x-20=0 答案：x1=-2 x2=10

(53)x^2-16x+39=0 答案：x1=3 x2=13

(54)x^2+32x+240=0 答案：x1=-20 x2=-12

(55)x^2+34x+288=0 答案：x1=-18 x2=-16

(56)x^2+22x+105=0 答案：x1=-7 x2=-15

(57)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1

(58)x^2-7x+6=0 答案：x1=6 x2=1

(59)x^2+4x-221=0 答案：x1=13 x2=-17

(60)x^2+6x-91=0 答案：x1=-13 x2=7

(61)x^2+8x+12=0 答案：x1=-2 x2=-6

(62)x^2+7x-120=0 答案：x1=-15 x2=8

(63)x^2-18x+17=0 答案：x1=17 x2=1

(64)x^2+7x-170=0 答案：x1=-17 x2=10

(65)x^2+6x+8=0 答案：x1=-4 x2=-2

(66)x^2+13x+12=0 答案：x1=-1 x2=-12

(67)x^2+24x+119=0 答案：x1=-7 x2=-17

(68)x^2+11x-42=0 答案：x1=3 x2=-14

(69)x^20x-289=0 答案：x1=17 x2=-17

(70)x^2+13x+30=0 答案：x1=-3 x2=-10

(71)x^2-24x+140=0 答案：x1=14 x2=10

(72)x^2+4x-60=0 答案：x1=-10 x2=6

(73)x^2+27x+170=0 答案：x1=-10 x2=-17

(74)x^2+27x+152=0 答案：x1=-19 x2=-8

(75)x^2-2x-99=0 答案：x1=11 x2=-9

(76)x^2+12x+11=0 答案：x1=-11 x2=-1

(77)x^2+17x+70=0 答案：x1=-10 x2=-7

(78)x^2+20x+19=0 答案：x1=-19 x2=-1

(79)x^2-2x-168=0 答案：x1=-12 x2=14

(80)x^2-13x+30=0 答案：x1=3 x2=10

(81)x^2-10x-119=0 答案：x1=17 x2=-7

(82)x^2+16x-17=0 答案：x1=1 x2=-17

(83)x^2-1x-20=0 答案：x1=5 x2=-4

(84)x^2-2x-288=0 答案：x1=18 x2=-16

(85)x^2-20x+64=0 答案：x1=16 x2=4

(86)x^2+22x+105=0 答案：x1=-7 x2=-15

(87)x^2+13x+12=0 答案：x1=-1 x2=-12

(88)x^2-4x-285=0 答案：x1=19 x2=-15

(89)x^2+26x+133=0 答案：x1=-19 x2=-7

(90)x^2-17x+16=0 答案：x1=1 x2=16

(91)x^2+3x-4=0 答案：x1=1 x2=-4

(92)x^2-14x+48=0 答案：x1=6 x2=8

(93)x^2-12x-133=0 答案：x1=19 x2=-7

(94)x^2+5x+4=0 答案：x1=-1 x2=-4

(95)x^2+6x-91=0 答案：x1=7 x2=-13

(96)x^2+3x-4=0 答案：x1=-4 x2=1

(97)x^2-13x+12=0 答案：x1=12 x2=1

(98)x^2+7x-44=0 答案：x1=-11 x2=4

(99)x^2-6x-7=0 答案：x1=-1 x2=7

(100)x^2-9x-90=0 答案：x1=15 x2=-6

(101)x^2+17x+72=0 答案：x1=-8 x2=-9

(102)x^2+13x-14=0 答案：x1=-14 x2=1

(103)x^2+9x-36=0 答案：x1=-12 x2=3

(104)x^2-9x-90=0 答案：x1=-6 x2=15

(105)x^2+14x+13=0 答案：x1=-1 x2=-13

(106)x^2-16x+63=0 答案：x1=7 x2=9

(107)x^2-15x+44=0 答案：x1=4 x2=11

(108)x^2+2x-168=0 答案：x1=-14 x2=12

(109)x^2-6x-216=0 答案：x1=-12 x2=18

(110)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5

(111)x^2+18x+32=0 答案：x1=-2 x2=-16

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