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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

必修四

高中数学必修四向量_高中数学必修四向量知识点整理

章 三角函数

§1 周期现象

§2 角的概念的推广

§3 弧度制

4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.3单位圆与诱导公式

§5 正弦函数的性质与图像

5.1从单位圆看正弦函数的性质

5.2正弦函数的图像

5.3正弦函数的性质

§6 余弦函数的图像和性质

6.1余弦函数的图像

6.2余弦函数的性质

7.1正切函数的定义

7.2正切函数的图像和性质

7.3正切函数的诱导公式

§8 函数 的图像

§9 三角函数的简单应用

第二章 平面向量

§1 从位移、速度、力到向量

1.1位移、速度和力

1.2向量的概念

§2 从位移的合成到向量的加法

2.1向量的加法

2.2向量的减法

§3 从速度的倍数到数乘向量

3.1数乘向量

3.2平面向量基本定理

§4 平面向量的坐标

4.1平面向量的坐标表示

4.2平面向量线性运算的坐标表示

4.3向量平行三：说教法的坐标表示

§5 从力做的功到向量的数量积

§6 平面向量数量积的坐标表示

§7 向量应用举例

7.1点到直线的距离公式

7.2向量的应用举例

第三章 三角恒等变形

§1 同角三角函数的基本关系

§2 两角和与的三角函数

2.2两角和与的正弦、余弦函数

2.3两角和与的正切函数

§3 二倍角的三角函数

必修四数学第二章知识点

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

必修四数学第二章知识点1 1、平面向量基本概念

数乘运算

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；

向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；

零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；

单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算

加法与减法的代数运算：

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a b=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+ = +（交换律）；+（+c）=（+）+c（结合律）；

实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

（1）| |=| |·| |；

（2）当a>0时，与a的方向相同；当a<0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0。

两个向量共线的充要条件：

（1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且一个实数，使得b= 。

（2）若=（），b=（）则‖b 。

3、平面向量基本定理

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。

4、平面向量有关推论

三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

若O是三角形ABC的外心，点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。

若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。

三点共线：三点A，B，C共线推出OA=μOB+aOC（μ+a=1）

必修四数学第二章知识点2

一、两个定理

1、共线向量定理：

两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。

平面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量，且系数。这两个不共线的向量构成一组基底，这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个：1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的性求向量的系数(固定的算法模式)。

二、三种形式

平面向量有三种形式，字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头，多考虑几何形式画图解题，特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况，向量的坐标和点的坐标不要混淆，向量的坐标是其终点坐标减始点坐标，特殊情况下，若始点在原点，则向量的坐标就是终点坐标。

选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键，优先考虑用几何形式画图做，然后是坐标形式，考虑字母形式的变形运算。

三、四种运算

加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算，结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量，零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算，结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律，数量积不符合消去律和结合律。

向量运算也有三种形式：字母形式、几何形式和坐标形式。

加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要，要能熟练灵活的使用。

加减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线，数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法：1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。

加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。

四、五个应用

求长度、求夹角、证垂直、证平行、向量和积的模与模的和积的关系。前三个应用是数量积的运算性质，证平行的数乘运算性质，零向量不能说和哪个向量方向相同或相反，规定零向量和任意向量都平行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(平行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量，加符号是反方向的单位向量

数学函数的值域与最值知识点

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的`角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

必修四数学第二章知识点3

1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。

3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。

向量的计算

1.加法

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2.减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

3.数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π

向量的数量积的运算律

a·b=b·a(交换律)

(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

高中学好数学的方法是什么

数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。

数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。

数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。

数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题不要放过。

数学函数的奇偶性知识点

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。

求高中数学向量知识点

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

向量其实很简单 不要想得太复杂，你只要会建立3维空间直角坐标系，会确定点的位置， 高考考察的内容也就是 将向量与立体几何结合起来，求2面角，证明 平行与垂直，或者两个直线所成角 那些 基础的东西课本里都有，多以不需要为了 向量卖参考书 如果 你想做题，教材完全解读和 典中点就不错

很简单，你跑到书店，找高考的书，如《王后雄》，《知识全解》……那种厚的书，翻到你要的那块，书有时比老师要好，连由浅及深的例题也有，看个两三本，数学OK。书不在多，在与思考，我也是高中生，你在三本书中的例题进行归纳，如这道题哪看到过，脑海中一定要有经典题目及方法，很多时2、空间几何体的三视图候数学是可以套的

高中数学 必修4

“另一个向量在这个向量的方向上的投影”就是a向量与力b方向相同的分力（就是同向的分力）

两个力的相加和相第三题：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ乘都(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)是在同一个方向上！

你画个图就明白了，向量相乘等于，莫相乘在乘以夹角的余弦值

向量是由大小和方向的，标量相乘求的是大小，而矢量不一样，它是根据方向来确定大小。

法向量高中在什么时候学

法向量是高二的时候必修四里这节课我准备这样进行：面的内容，必修四先学三角函数的定义，再学的平面向量，然后是三角变换。直线的法向量是与直线垂直的向量，

对 Ax+By+C=0 的直线，认真听课做笔记法向量可取 n=(A，B) ，

如果已知直线斜率 k ，法向量有时取 n=(k，-1) 。

高中数学新教材(试验修订本·必修B)第九章为立体几何内容,其中安排了空间向量一节,安排这部分内容,除了向量作为学生今后进一步学习数学和其它学科的基础知识外,更主要的原因是,利用向量方法解决立体几何问题有非常强的优势,立体几何中距离。

我想知道为什么高中数学必修四把平面向量和三角函数放一起学，简单说一下就好，谢谢

§7 正切函数

一个三角函数，它的一个周期实际上就是一个向量从一个点开始逆时针旋转一周又回到这个点。

主要内容包括向量数量积的有关概念、向量数量积的几何意义以及性质，还有向量在几何中的应用和向量在物理中的应用。

比如单位向量从x轴正方向开始逆时针旋转30°，这个时候它的坐标是（√3/2，1/2），也就是（cos30°，sin30°）；旋转45°，这个时候它的坐标是（√2/2，√2/2），也就是（cos45°，sin45°）。那旋转270°，坐标就是（0，-1），也就是（cos270°，sin270°），以此类推。

人教版高中数学必修四目录

2、平面向量基本定理：

在古代，数学叫作算术，又称算学，才改为数学．古代的算术是六艺之一，六艺中称为“数”。下面我整理了《人教版高中数学必修四目录》，供大家参考！

章 三角函数

1.1任意角和弧度制

1.2任意角的三角函数——阅读与思考 三角形与天文学

1.3三角函数的诱导公式

1.4三角函数的图像与性质——探究与发现 函数y=Asin(ωX+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期

探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

信息技术应用 利用正切线画函数

y=tanX,X∈（—2π，2π ）的图像

1.5函数y=Asin(ωX+φ)的图像——阅读与思考 振幅、周期、频率、相位

1.6三角函数模型的简单应用

小结

复习参考题

第二章 平面向量

2.1平面向量的实际背景及基本概念——阅读与思考 向量及向量符号的由来

2.2平面向量的线性运算

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

2.4平面向量的数量积

2.5平面向量应用举例——阅读与思考 向量的运算（运算律★ 高一数学知识点总结归纳）与图形性质

小结

复习参考题

第三章 三角恒等变换

3.1两角和与的正弦、余弦和正切公式——信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表

3.2简单的三角恒等变换

复习参考题

关于向量知识在那高一哪一本数学书上？

（4）两个向量垂直的标表示的充要条件

您好。平面向量知识是高一下学期的知识点，必修四内容。学的知识点是平面向量的基本性质，向量的加减，数乘，点乘，平面向量基本定理平面向量坐标表示与混合运算等等。高二上学期选修二会学习空间向量基本定理与加减乘法运算。

平面向量的相关知识

应该是高一下学期的知识点

不过各个地方的教材

也不完全是一样的

主要把平面向量的加法

和平面向量的数量积掌握即可

平面向量的概念

平面向量的加法减法及数乘运4.2单位圆与周期性算

平面向量的坐标表示

平面向量的数量积

平面向量的平行与垂直

平面向量的应用

当然最权威的还是教科书咯，它每个章节就帮你分了知识点

高一数学平面向量知识点总结

(3)棱台：

平面向量是高中数学中基本内容，也是联系代数与几何的一种工具，为高考的重点内容。下面我给大家带来 高一数学 平面向量知识点，希望对你有帮助。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

目录

高一数学平面向量知识点

高一数学知识点

高一数学学习方法

高一数学平面向量知识点

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a.b的几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

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高一数学知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

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高一 数学 学习 方法

在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。当然听是主要的，听能使注意力集中，要把老师讲的关键性部分听懂、听会。听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地有目的性的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。科学的记笔记可以提高45分钟课堂效益。

把握教材去理解

要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习高一数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。

如果数学课没有一定的速度，那是一种无效学习。慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。

避免遗留问题

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